Question

已知函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R），且集合A={x|x=f（x）}，B={x|x=f[f（x）]}．

Answer 1

解题思路：（1）若x∈A，则x=f（x）成立，则f[f（x）]=f（x）=x必成立，进而根据集合包含关系的定义，得到结论；

（2）由A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}，结合方程根与系数关系可求a，b，进而可求，f（x），然后代入B={x|f[f（x）]=x}整理可求．

（1）证明：若x∈A，则x=f（x）成立，

则f[f（x）]=f（x）=x必成立，即x∈B，

故A⊆B；

（2）∵A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}

∴-1，3是方程x²+（a-1）x+b=0的根

∴

1−a＝2

b＝−3，即a=-1，b=-3，

∴f（x）=x²-x-3

∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x²-x-3）=x}={x|（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x}

化简可得，（x²-x-3）²-x²=0

∴（x²-3）（x²-2x-3）=0

∴x=

3或x=-

3或x=3或x=-1

∴B={

3，-

3，-1，3}．

点评：

本题考点： 集合的包含关系判断及应用；集合的表示法．

考点点评： 本题主要考查了二次函数与二次方程之间关系的相互转化，方程的根与系数关系的应用．