（1）证明：如图一，
∵O 1，O 2，F分别是AB，AC，BC边的中点，
∴O 1F ∥ AC且O 1F=AO 2，O 2F ∥ AB且O 2F=AO 1，
∴∠BO 1F=∠BAC，∠CO 2F=∠BAC，
∴∠BO 1F=∠CO 2F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
∴O 1F=AO 2=O 2E，O 2F=AO 1=O 1D，
∠BO 1D=90°，∠CO 2E=90°，
∴∠BO 1D=∠CO 2E．
∴∠DO 1F=∠FO 2E．
∴△DO 1F≌△FO 2E；
（2）如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE．
∵点E是半圆O 2圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC=
A E 2 +C E 2 = 3
2 ，
∵AQ是半圆O 2的切线，
∴CA⊥AQ，
∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°，
∴AQ=AC=AG= 3
2 ，
同理：∠BAP=90°，AB=AP= 5
2 ，
∴CG= 6
2 ，∠GAB=∠QAP，
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG，
∵∠ACB=90°，
∴BC=
A B 2 -A C 2 = 4
2 ，
∴BG=
G C 2 +B C 2 = 2
26 ，
∴PQ= 2
26 ；
（3）如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM．
∵F是BC边的中点，∴S △ABF=S △ACF．
∴BR=CS，
由（2）已证∠CAQ=90°，AC=AQ，
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ，∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠2=∠4，
∴△AMQ≌△CSA，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°，
∴∠ADB=∠ARB=90°，∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
且∠DBR+∠DAR=180°，
∴∠5=∠8，∠6=∠7，
∵∠DAM+∠DAR=180°，
∴∠DBR=∠DAM
∴△DBR≌△DAM，
∴∠5=∠9，
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，又AB是半圆O 1直径，
∴PA是半圆O 1的切线．