Question

求360的所有正约数的倒数和．

Answer 1

解题思路：设正整数a的所有正约数之和为b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，再求出其倒数和的表达式，再把360化为2³×3²×5的形式，进而求出b的值即可得出答案．

设正整数a的所有正约数之和为b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，于是d₁、=1，d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，于是d₁=1，d_n=a，

由于S=[1

d1+

1

d2+

1

d3+…+

1

dn中各分数分母的最小公倍数为d_n=a，

故S=

dn

dn+

dn−1

dn+

dn−2

dn+…+

d1

dn=

d1+d2+d3+…dn

dn=

b/a]，

而a=360=2³×3²×5，

故b=（1+2+2²×2³）×（1+3+3²）×（1+5）=1170，

所以360的所有正约数的倒数和为：[1170/360]=3[1/4]．

故答案为：3[1/4]．

点评：

本题考点： 整数问题的综合运用．

考点点评： 本题考查的是整数问题的综合运用，能设出正整数a的所有正约数之和为b，求出其倒数和的表达式是解答此题的关键．