解题思路：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，
3/2]），由椭圆的定义，可得a的值，从而可求椭圆C的方程；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0），分类讨论：①当PQ⊥x轴时，以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9，可得以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；②当直线PQ与x轴不垂直时，可得以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-[m+n/2]）2=
(
m−n
2
)
2
，验证（1，0），（7，0）在圆上
（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，[3/2]），
由椭圆的定义，可得2a=4，∴a=2
∴b2=a2-1=3
∴椭圆C的方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0）
①当PQ⊥x轴时，P，Q的横坐标均为1，将x=1代入椭圆方程可得y=±[3/2]
不妨令P（1，[3/2]），Q（1，-[3/2]）
由A，P，M三点共线，得[m−0
4−(−2)＝
3/2−0
1−(−2)]，∴m=3
同理可得n=-3
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
②当直线PQ与x轴不垂直时，∵A（-2，0），M（4，m），∴kAM＝
m−0
4−(−2)＝
m
6
∴直线AM的方程为y=[m/6(x+2)
代入椭圆方程，整理可得（27+m2）x2+4m2x+4m2-108=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则-2与x1是上述方程的两个实根
∴-2x1=
4m2−108
27+m2]，∴x1=
54−2m2
27+m2，∴y1=[18m
27+m2
∴P（
54−2m2
27+m2，
18m
27+m2）
同理可得Q（
54−2n2
27+n2，
18n
27+n2）
∴kFP＝
y
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，考查分类讨论的数学思想，综合性强．
1年前
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