Question

请教一道概率证明题设随机变量X的密度函数关于x=μ 对称,证明其分布函数满足以下性质：F（μ+x)+F(μ-x)=1 ,

Answer 1

证明：设密度函数为p(x),则有S(－∞,+∞)p(x)dx=1,且根据密度函数关于x=μ 对称知道S(－∞,μ)p(x)dx=S(μ,+∞)p(x)dx

F（μ+x)=S(-∞,μ+x)p(x)dx=S(－∞,μ)p(x)dx+S(μ,μ+x)p(x)dx=S(μ,+∞)p(x)dx+S(μ,μ+x)p(x)dx=1-S(-∞,μ)p(x)dx+S(μ,μ+x)p(x)dx=1-[S(-∞,μ)p(x)dx-S(μ,μ+x)p(x)dx]=1-[S(-∞,μ)p(x)dx-S(μ-x,μ)p(x)dx]=1-F(μ-x)

命题得证.(注：最后一步代换S(μ,μ+x)p(x)dx=S(μ-x,μ)p(x)dx也是根据密度函数关于x=μ 对称得到的.)