解题思路：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米磨损量为[k/5000]，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为[k/3000]，
又设一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米．
分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，可得：
kx
5000+
ky
3000＝k
ky
5000+
kx
3000＝k，
两式相加，得
k(x+y)
5000+
k(x+y)
3000=2k，
则 x+y=3750（千米）．
答：这辆自行车最多可以行驶3750千米．
故答案为：3750．
点评：
本题考点： 最优化问题．
考点点评： 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．