Question

数列an+1=an∧2+nan+a 首项a1=3 当n∈正整数时a>=2n恒成立,求a 的

Answer 1

a1=3,

a=an^2+nan+a,

a2=12+a>=4,a>=-8,

a3=(12+a)^2+2(12+a)+a=168+27a+a^2>=6,a^2+27a+162>=0,解得a>=-9或a=2n,a>=-8.

下面证明当n>3,n∈N+时an>=2n成立,

假设ak>=2k,k>=3,那么

a=ak^2+kak+a>=(2k)^2+k*(2k)-8=6k^2-8,

6k^2-8-(2k+2)=2(3k^2-k-5)=6[k-(1+√61)/6][k-(1-√61)/6]>0,

∴a>2(k+1),

由数学归纳法,对任意n∈N+,an>=2n恒成立,

∴a>=-8,为所求.

a>=2n+2-nan-an^2=2n+2+n^2/4-(an-n/2)^2