解题思路：（1）根据f（0）=1，用待定系数法求得b=-1，即得函数的解析式．
（2）由
f(x)＝
x
2
−x+1＝(x−
1
2
)
2
+
3
4
，可得f（x）在
[0，
1
2
]
上是减函数，在
[
1
2
，2]
上是增函数，由此求得
函数f（x）在[0，2]上的最值．
（1）∵f（0）=1，∴c=1，…（1分）
∴f（x）=x2+bx+1．
∴f（x+1）-f（x）=（x+1）2+b（x+1）+1-x2-bx-1=2x+b+1=2x…（4分）
∴b=-1，
∴f（x）=x2-x+1．…（6分）
（2）f(x)＝x2−x+1＝(x−
1
2)2+
3
4，…（8分）
∵x∈[0，2]，f（2）=3，
∴f（x）在[0，
1
2]上是减函数，在[
1
2，2]上是增函数．
又＞f（0）=1，…（10分）
∴f(x)max＝f(2)＝3，f(x)min＝f(
1
2)＝
3
4．…（12分）
点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．
考点点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值的方法，用待定系数法求函数的解析式，属于中档题．