Question

在数列{an}中，a1=[1/3]，并且对于任意n∈N*，且n＞1时，都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=[

Answer 1

解题思路：（I）、当n=1时，先求出b₁=3，当n≥2时，求得b _n+1与b_n的关系即可知道b_n为等差数列，然后便可求出数列{b_n}的通项公式；

（II）根据（I）中求得的b_n的通项公式先求出数列{[an/n]}的表达式，然后求出T_n的表达式，根据不等式的性质即可证明T_n＜[3/4]-[1/n+2]．

（I）当n=1时，b₁=[1/a1]=3，

当n≥2时，b_n-b_n-1=[1/an]-[1/an−1]=[an−1−an/an•an−1]=1，

∴数列{b_n}是首项为3，公差为1的等差数列，

∴数列{b_n}的通项公式为b_n=n+2．

（II）∵[an/n]=[1/nbn]=[1

n(n+2)=

1/2]（[1/n]-[1/n+2]），

∴T_n=[a1/1]+[a2/2]+[a3/3]+…+[an−1/n−1]+[an/n]

=[1/2][（1-[1/3]）+（[1/2]-[1/4]）+（[1/3]-[1/5]）+…+（[1/n−1]-[1/n+1]）+（[1/n]-[1/n+2]）]=[1/2][[3/2]-（[1/n+1]+[1/n+2]）]

=

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列与不等式的结合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．