解题思路：（Ⅰ）根据偶函数的定义，即f（-x）=f（x），从而求得b=0，再根据f（x）过点（-1，4），代入即可求得a的值，从而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据f（x）和g（x）的解析式，以及F（x）=f（2x）+g（2x+1），求出F（x）的解析式，利用换元法，令t=2x，则将函数F（x）转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得F（x）的值域；
（Ⅲ）f（x）≥g（mx+m）对x∈[2，6]恒成立，即x2+3≥mx+m+4对x∈[2，6]恒成立，利用参变量分离的方法，将不等式转化为m≤x-1对x∈[2，6]恒成立，即求x-1的最小值，从而得到实数m 的取值范围．
（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax2+bx+3是偶函数，
∴f（-x）=f（x）对x∈R恒成立，即ax2-bx+3=ax2+bx+3对x∈R恒成立，
∴2bx=0对x∈R恒成立，
∴b=0，
∴f（x）=ax2+3，
∵二次函数f（x）图象过点（-1，4），
∴f（-1）=a+3=4，解得a=1，
∴f（x）=x2+3；
（Ⅱ）∵f（x）=x2+3，g（x）=x+4，
∴F（x）=f（2x）+g（2x+1）=（2x）2+3+2x+1+4=（2x）2+2•2x+7，
设2x=t，则t∈（0，+∞），
∴y=t2+2t+7=（t+1）2+6＞7，
∴函数F（x）=f（2x）+g（2x+1） 的值域为（7，+∞）；
（Ⅲ）∵f（x）=x2+3，g（x）=x+4，
∴f（x）≥g（mx+m）对x∈[2，6]恒成立，即x2+3≥mx+m+4对x∈[2，6]恒成立，
∴m（x+1）≤x2-1对x∈[2，6]恒成立，
∵2≤x≤6，则3≤x+1≤7，
∴m≤x-1对x∈[2，6]恒成立，即m≤（x-1）min，
由∵x∈[2，6]，
∴1≤x-1≤5，
∴m≤（x-1）min=1，
∴m≤1，
∴实数m 的取值范围为m≤1．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．
考点点评： 本题考查了求函数的解析式，函数的恒成立问题，函数的值域问题．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．求函数的值域要注意考虑定义域的取值，再根据函数的解析式进行判断该使用何种方法求解值域．对于不等式的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．