Question

0是A的p重特征值,证明：若r(A^2)=r(A),则对任意正整数n,有r(A^n)=r(A).

Answer 1

显然,齐次线性方程组 Ax=0 的解都是 A^2x=0 的解

由于 r(A)=r(A^2)

所以 Ax=0 的基础解系也是 A^2x=0 的基础解系

所以 Ax=0 与 A^2x=0 同解.

现考虑 A^2x=0 与 A^3x=0 的解的关系

由于 A^3x=A(A^2x)

所以 A^2x=0 的解都是 A^3x=0 的解

反之,若α是A^3x=0的解,则 A^2(Aα)=A^3α=0

所以Aα是A^2x=0的解

而 Ax=0 与 A^2x=0 同解,所以 Aα 也是 Ax=0 的解

即有 A(Aα)=A^2α=0

所以 α也是 A^2x=0的解

故 A^2x=0 与 A^3x=0 同解

所以 r(A^3)=r(A^2)=r(A).

归纳可得 r(A^n)=r(A^(n-1))=...=r(A^2)=r(A)