Question

函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有 f(m)f(n)=mf( n 2 )+n

Answer 1

（1）令m=n=0

∴f ²（0）=0∴f（0）=0

（2）令m=n

∴

f 2 (m)=2mf(

m

2 )=4•

m

2 •f(

m

2 )＞0

∴对于任意的t t•f(t)=

1

4

f 2 (2t)≥0

∴即证

（3）令m=2n=2x

∴ f(2x)•f(x)=2xf(

x

2 )+x•f(x) =f ²（x）+xf（x）

当f（x）=0时恒成立，

当f（x）≠0时有，

∴f ²（2x）=[f（x）+x] ²=4xf（x）

∴f（x）=x．