Question

已知函数f（x）=[1+alnx/x]，（a∈R）．

Answer 1

解题思路：（1）根据极值的定义可得f′（1）=0求出a的值然后再回代到题中利用极值的定义判断函数f（x）是否在x=1处取得极值以免产生增根．

（2）设切点A（x₀，y₀）根据直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切和导数的几何意义可得k=f′（x₀）再根据k=k_OA建立关于x₀的等式然后求出x₀（要注意其大于0）进而求出k

（1）∵f（x）=[1+alnx/x]

∴f′（x）=[a−1−alnx

x2

∵函数f（x）在x=1处取得极值

∴f′（1）=a-1=0

∴a=1

经检验，a=1时f′（x）=-

lnx

x2故0＜x＜1时f′（x）＞0，x＞1时f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减故f（x）在x=1处取得极值．

∴a=1

（2）由（1）可知a=1

∴f（x）=

1+lnx/x]

∴f′（x）=-[lnx

x2

设切点A（x₀，y₀）

∴k=f′（x₀）=-

Inx0

x20

又∵k=k_OA=

1+lnx0

x02

∴

1+Inx0

x20=-

Inx0

x20

∴lnx₀=-

1/2]

∴x0＝ e−

1

2

∴k=k_OA=

1+lnx0

x02=

1−

1

2

(e−

1

2)2=[e/2]

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查了函数极值的概念已及导数的几何意义的应用，属常考题，较难．解题的关键是在第二问中根据直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切和导数的几何意义得出k=f′（x0）而直线y=kx有过原点故k=kOA从而建立了关于x0的等式1+Inx0x20=-Inx0x20但要注意x0＞0！