如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D、E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,求∠ABC的大小.

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  • 解题思路:由AD⊥BC,BE⊥AC,根据垂直定义可得∠ADB,∠ADC及∠BEC都为直角,又∠AFE与∠BFD为对顶角,可得三角形AEF与三角形BDF相似,由相似三角形的对应角相等可得∠FAE=∠FBD,又一对直角相等,加上已知的BF=AC,利用AAS可得三角形ADC与三角形BFD全等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=BD,又AD与BD垂直,可得三角形ABD为等腰直角三角形,从而求出∠ABC的度数.

    ∵AD⊥BC,BE⊥AC(已知),

    ∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°(垂直定义),

    又∵∠AFE=∠BFD(对顶角相等),

    ∴△AEF∽△BDF(两对对应角相等的两三角形相似),

    ∴∠FAE=∠FBD(相似三角形的对应角相等),

    在△BFD和△ACD中,

    ∠BDA=∠ADC(已证)

    ∠FBD=∠FAE(已证)

    BF=AC(已知),

    ∴△BFD≌△ACD(AAS),

    ∴BD=AD(全等三角形的对应边相等),

    ∴∠BAD=∠ABD(等边对等角),

    又∵∠ADB=90°(已证),

    ∴∠ABC=[180°−90°/2]=45°(三角形的内角和定理).

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,学生做题时应挖掘题中隐含的条件,比如对顶角相等,垂直可得直角,结合图形,构造证明三角形全等的条件来解决问题,其中全等三角形的判定方法有SSS;SAS;ASA;AAS;HL(直角三角形),熟练掌握三角形全等的判定方法是解本题的关键.