1.正数x,y满足x+2y=1,则1／x+1／y的最小值为_
∵x+2y=1,∴(1/x)+(1/y)=[(x+2y)/x]+[(x+2y)/y]=[1+2(y/x)]+[(x/y)+2]=3+(2y/x)+(x/y)≧3+2√2；
当且仅仅当2y/x=x/y,即2y²=x²,x=(√2)y；(√2)y+2y=(2+√2)y=1,y=1/(2+√2)=(2-√2)/2,x=√2-1
时等号成立.即当x=√2-1,y=(2-√2)/2时(1/x)+(1/y)获得最小值3+2√2.
2.已知x,y属于R,且2/x+8/y=1,求x+y的最小值_
(1).如果x,y属于R,则x+y既无最大值,也无最小值.因为当x=2时8/y=0,此时y=±∞,
也就是x+y=±∞；当y=8时2/x=0,得到同样的结果.
(2)如果规定x>2,y>8,则可用基本不等式求
∵2/x+8/y=1,∴x+y=(x+y)(2/x+8/y)=2+(2y/x)+(8x/y)+8=10+(2y/x)+(8x/y)≧10+2√16=18；
当且仅仅当2y/x=8x/y,即2y²=8x²,y²=4x²,y=2x；即x=6,y=12时等号成立.
(3)再回到x,y属于R的情况：这时由2/x+8/y=1,解得y=8x/(x-2)；于是得：
u=x+y=x+8x/(x-2)=(x²+6x)/(x-2) [注意这个函数有一个x=2的无穷型间断点]
令u'=[(x-2)(2x+6)-(x²+6x)]/(x-2)²=(x²-4x-12)/(x-2)²=(x+2)(x-6)/(x-2)²=0,得驻点x₁=-2,x₂=6；
x₁是极大点,x₂是极小点；故得极大值=u(-2)=(4-12)/(-4)=2；极小值=u(6)=(36+36)/4=18；
这里极大值比极小值还小,这不奇怪.因为函数u有一个无穷型间断点x=2；
x→2-limu=x→2-lim(x²+6x)/(x-2)=-∞；[x→2- 表示x从2的左边靠近2]
x→2+limu=x→2+lim(x²+6x)/(x-2)=+∞；[x→2+ 表示x从2的右边靠近2]
故若规定x,y属于R,则x+y既无最大值,也无最小值,但有极大值2和极小值18.