在□ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连接EG、GF

1个回答

  • 解题思路:(1)由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心,即可得出OE=OF、OG=OH;根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质;

    (2)当EF⊥GH时,平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分,故四边形EGFH是菱形;

    (3)当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响,故结论同(2);

    (4)当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形,则对角线相等且互相垂直平分;可通过证△BOG≌△COF,得OG=OF,从而证得菱形的对角线相等,根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状.

    (1)四边形EGFH是平行四边形;

    证明:∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,

    ∴点O是▱ABCD的对称中心;

    ∴EO=FO,GO=HO;

    ∴四边形EGFH是平行四边形;

    (2)∵四边形EGFH是平行四边形,EF⊥GH,

    ∴四边形EGFH是菱形;

    (3)菱形;

    由(2)知四边形EGFH是菱形,

    当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响;

    (4)四边形EGFH是正方形;

    证明:∵AC=BD,

    ∴▱ABCD是矩形;

    又∵AC⊥BD,

    ∴▱ABCD是正方形,

    ∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC;

    ∵EF⊥GH,

    ∴∠GOF=90°;

    ∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°

    ∴∠BOG=∠COF;

    ∴△BOG≌△COF(ASA);

    ∴OG=OF,同理可得:EO=OH,

    ∴GH=EF;

    由(3)知四边形EGFH是菱形,

    又EF=GH,

    ∴四边形EGFH是正方形.

    点评:

    本题考点: 正方形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;菱形的判定.

    考点点评: 此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质;熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键.