解题思路:(1)由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心,即可得出OE=OF、OG=OH;根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质;
(2)当EF⊥GH时,平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分,故四边形EGFH是菱形;
(3)当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响,故结论同(2);
(4)当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形,则对角线相等且互相垂直平分;可通过证△BOG≌△COF,得OG=OF,从而证得菱形的对角线相等,根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状.
(1)四边形EGFH是平行四边形;
证明:∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,
∴点O是▱ABCD的对称中心;
∴EO=FO,GO=HO;
∴四边形EGFH是平行四边形;
(2)∵四边形EGFH是平行四边形,EF⊥GH,
∴四边形EGFH是菱形;
(3)菱形;
由(2)知四边形EGFH是菱形,
当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响;
(4)四边形EGFH是正方形;
证明:∵AC=BD,
∴▱ABCD是矩形;
又∵AC⊥BD,
∴▱ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC;
∵EF⊥GH,
∴∠GOF=90°;
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF;
∴△BOG≌△COF(ASA);
∴OG=OF,同理可得:EO=OH,
∴GH=EF;
由(3)知四边形EGFH是菱形,
又EF=GH,
∴四边形EGFH是正方形.
点评:
本题考点: 正方形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;菱形的判定.
考点点评: 此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质;熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键.