8x^2-60x+72
=4(2x^2-15x+18)
=4(2x-3)(x-6)十字相乘法
开放分类：数学、十字相乘法
十字相乘法概念
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果：,在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号.
例题
例1 把2x^2－7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
2 1
1×1+2×3
=7
1 －1
2 －3
1×(－3)+2×(－1)
=－5
1 －3
2 －1
1×(－1)+2×(－3)
=－7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下：
a1 c1
a2 c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1a2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常
叫做十字相乘法.
例2 把6x2－7x－5分解因式.
分析：按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项－5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种
2 1
3 －5
2×(－5)+3×1=－7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).
指出：通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式,十字相乘法是
1 －3
1 5
1×5+1×(－3)=2
所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).
例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把－8y2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与－8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
1 2
5 －4
1×(－4)+5×2=6
解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).
指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.
例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x－y),它是第一个因式的二倍,然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y) 2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
1 －2
2 +1
1×1+2×(－2)=－3
指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例3:x2+2x-15
分析：常数项(-15)