Question

已知定义在R上的函数f（x）=−2x−b2x−a是奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解a，b．（2）利用定义法证明函数的单调性．

（3）利用函数的奇偶性将不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0转化为f（t²-2t）＜-f（-k）=f（k），然后利用单调性求k的取值范围．

（1）∵f（x）=

−2x−b

2x−a是R上的奇函数，f（0）=0，

即[−1−b/1−a＝0，解得b=-1．

∴f(x)＝

−2x+1

2x−a]，

又f（-1）=-f（1），

∴

1−2−1

2−1−a＝−

1−2

2−a，即[1/1−2a＝

1

2−a]，

∴1-2a=2-a，即a=-1，经检验符合题意．

∴a=-1，b=-1．

（2）由（1）可知f(x)＝

1−2x

1+2x，

设x₁＜x₂，f(x1)−f(x2)＝

1−2x1

1+2x1−

1−2x2

1+2x2＝

2(2x2−2x1)

(1+2x1)(1+2x2)，

∵y=2^x在R单调递增，∴2x2＞2x1＞0，

∴f（x₁）＞f（x₂），

即f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．

（3）∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，且为奇函数，

∴原不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0等价为f（t²-2t）＜-f（-k）=f（k），

∴t²-2t＞k恒成立．

∵y=t²-2t=（t-1）²-1≥-1，

∴k＜-1，

即k的取值范围是k＜-1．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．