左导数不说了,你会求；
右导数
= lim (x从>1处趋近于1) [f(x) - f(1)] / (x-1)
= lim (x从>1处趋近于1) [x^2 - 2/3] / (x-1)
= lim (x从>1处趋近于1) [x^2 - 1 + 1/3] / (x-1)
= lim (x从>1处趋近于1) (x^2 - 1)/(x-1) + 1/3 lim (x从>1处趋近于1) 1/(x-1)
第二个函数极限不存在（第一个极限为2）,为正无穷大,所以函数在x=1的右导数不存在.
代入导数表达式的时候一定注意：f(x)的表达式一定是>1的这段,因为右导数的定义就是当x从1的右边趋于1时斜率的极限,但是f(1)要代入1这段求导然后代入x = 1,这么做必须先保证f'(x)在1这点右连续才行.楼上求的右导数实际上是连接(x, f(x))与(1,1)的直线的斜率的极限,但这不是导数的定义.因为1不等于f(1). 你用定义求完导就能看到,f'(x)确实在x=1不是右连续的.