对任何正整数n,求证:n(n-1)(n-2)-6[n/3] 能被18整除.[n/3]:代表n/3的整数部分.例如:[4.

2个回答

  • 当n=1,2,3时,原式=0,可被18整除

    当n=3k,K>1且是正整数

    原式=3k(3k-1)(3k-2)-6[3k/3]

    =3k(9k²-9k+2)-6k

    =3k(9k²-9k+2-2)

    =3k(9k²-9k)

    =27k²(k-1)

    ∵当K>1且是正整数时,k²和k-1中有且只有一个数为偶数

    ∴当n=3k,原式可被18整除

    当n=3k+1时,K>1且是正整数

    原式=(3k+1)3k(3k-1)-6[(3k+1)/3]

    =3k(9k²-1)-6k

    =3k(9k²-3)

    =9k(3k²-1)

    ∵当K>1且是正整数时,k和3k²-1中有且只有一个数为偶数

    ∴当n=3k+1,原式可被18整除

    当n=3k+2时,K>1且是正整数

    原式=(3k+2)(3k+1)3k-6[(3k+2)/3]

    =3k(9k²+9k+2)-6k

    =3k(9k²+9k+2-2)

    =27k²(k+1)

    ∵当K>1且是正整数时,k²和k+1中有且只有一个数为偶数

    ∴当n=3k+2,原式可被18整除

    ∴对任何正整数n,n(n-1)(n-2)-6[n/3] 能被18整除