Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．

Answer 1

解题思路：（I）∠C为钝角时⇒cosC＜0，然后根据余弦定理得出c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²，即可证明结论．

（II）先设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1，从而得出n-1）²+n²＜（n+1）²，求出n，当n=2时，不能构成三角形，舍去，当n=3时，求出△ABC三边长，利用余弦定理求出cosC，再由正弦定理求出外接圆半径．

（Ⅰ）当∠C为钝角时，cosC＜0，（2分）

由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²，（5分）

即：a²+b²＜c²．（6分）

（Ⅱ）设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），

∵△ABC是钝角三角形，不妨设∠C为钝角，

由（Ⅰ）得（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒n²-4n＜0⇒0＜n＜4，（9分）

∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，

当n=2时，不能构成三角形，舍去，

当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4，（11分）

cosC＝

22+32−42

2×2×3＝−

1

4⇒sinC＝

15

4，（13分）

△ABC外接圆的半径R＝

c

2sinC＝

4

2×

15

4＝

8

15

15．（14分）

点评：

本题考点： 余弦定理．

考点点评： 本题考查了正弦定理和余弦定理，对于外接圆半径利用正弦定理得到即可，属于中档题．