解题思路:(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点(x0,y0)处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)TA,TB为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的切线,A,B为切点,OT与AB交于点P,则OP•OT=a2.设A(x0,y0),则直线AT的方程为x0xa2+y0yb2=1.令y=0,得点T的坐标为(a2x0,0),由此能证明OP•OT=a2.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则点A处的切线方程为x1xa2+y1yb2=1,点B处的切线方程为x2xa2+y2yb2=1,由此求出直线AB的方程,由直线AB过椭圆的左焦点,能证明点M在椭圆的左准线上.
(1)椭圆
x2
a2+
y2
b2=1(a>b>0)上一点(x0,y0)处的切线方程为
x0x
a2+
y0y
b2=1…(2分)
(2)如图2,TA,TB为椭圆
x2
a2+
y2
b2=1(a>b>0)的切线,A,B为切点,
OT与AB交于点P,则OP•OT=a2…(4分)
证明:设A(x0,y0),则直线AT的方程为
x0x
a2+
y0y
b2=1.
令y=0,得x=
a2
x0,∴点T的坐标为(
a2
x0,0)…(6分)
又点P的坐标为(x0,0),∴OP•OT=|
a2
x0|•|x0|=a2…(8分)
(3)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则点A处的切线方程为
x1x
a2+
y1y
b2=1,点B处的切线方程为
x2x
a2+
y2y
b2=1…(10分)
将点M(s,t)代入,得
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.