圆与椭圆有很多类似的性质,如圆的面积为πr2(r为圆的半径),椭圆的面积为πab(a,b分别为椭圆的长、短半轴的长).某

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  • 解题思路:(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点(x0,y0)处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)TA,TB为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的切线,A,B为切点,OT与AB交于点P,则OP•OT=a2.设A(x0,y0),则直线AT的方程为x0xa2+y0yb2=1.令y=0,得点T的坐标为(a2x0,0),由此能证明OP•OT=a2.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则点A处的切线方程为x1xa2+y1yb2=1,点B处的切线方程为x2xa2+y2yb2=1,由此求出直线AB的方程,由直线AB过椭圆的左焦点,能证明点M在椭圆的左准线上.

    (1)椭圆

    x2

    a2+

    y2

    b2=1(a>b>0)上一点(x0,y0)处的切线方程为

    x0x

    a2+

    y0y

    b2=1…(2分)

    (2)如图2,TA,TB为椭圆

    x2

    a2+

    y2

    b2=1(a>b>0)的切线,A,B为切点,

    OT与AB交于点P,则OP•OT=a2…(4分)

    证明:设A(x0,y0),则直线AT的方程为

    x0x

    a2+

    y0y

    b2=1.

    令y=0,得x=

    a2

    x0,∴点T的坐标为(

    a2

    x0,0)…(6分)

    又点P的坐标为(x0,0),∴OP•OT=|

    a2

    x0|•|x0|=a2…(8分)

    (3)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),

    则点A处的切线方程为

    x1x

    a2+

    y1y

    b2=1,点B处的切线方程为

    x2x

    a2+

    y2y

    b2=1…(10分)

    将点M(s,t)代入,得

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.