解题思路：对于A，D可列举出所以可能性，对于B当a在平面α内就存在与a平行的直线，对于C根据线面的位置关系进行判定即可．
若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交或在平面内
对于A，α内的所有直线与直线a异面，也可能相交，故不成立；
对于B，α内不存在与a平行的直线，当a在平面α内就存在与a平行的直线，故不成立；
对于C，直线a与平面α有公共点，当直线a与平面α相交与在平面内都有公共点，故成立；
对于D，α内的直线均与a相交，也可能异面；故不成立
故选C．
点评：
本题考点： 平面的基本性质及推论．
考点点评： 本题的考点是平面的基本性质及推论，主要考查了空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系等有关知识，同时考查了推理能力，属于基础题．