Question

已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}， g(x)=sin πx 3 ．

Answer 1

（1）∵ g(x)+g(x+2)=sin

πx

3 +sin(

πx

3 +

2π

3 )=2sin

π

3 (x+1)cos

π

3

= sin

π

3 (x+1)=g(x+1) ∴g（x）∈M…（6分）

（2）因g（x）是周期为6的周期函数，猜测f（x）也是周期为6的周期函数

由f（x）+f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），

∴f（x）+f（x+2）+f（x+1）+f（x+3）=f（x+1）+f（x+2）

∴f（x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=-f（x），

∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），得证f（x）是周期为6的周期函数，

故M中的元素都是周期为6的周期函数．…（12分）

（3）令 h(x)=cos

πx

3 ，可证得h（x）+h（x+2）=h（x+1）…（16分）

∴h（x）∈M，但h（x）是偶函数，不是奇函数，

∴M中的元素不都是奇函数．…（18分）