Question

已知n阶方阵A.B可交换,证明(AB)的k次方等于A的k 次方乘以B的k次方

Answer 1

A.B可交换

AB=BA

(AB)^2=AB*AB=A(BA)B=A(AB)B=A^2B^2

假设k-1时成立,(AB)^(k-1)=A^(k-1)B^(k-1)

(AB)^k=(AB)^(k-1)AB=A^(k-1)B^(k-1)AB=A^(k-1)B^(k-2)ABB=.=A^(k-1)AB^(k-1)B=A^kB^k

由数学归纳法得到结论成立