解题思路:(I)利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′(x);②解f′(x)>0(或<0);③得到函数的增区间(或减区间);
(II)对函数进行求导,令导函数等于0在区间(1,3)上有解,然后建立关系式,解之即可.
(Ⅰ) f′(x)=
a(1−2x)
x(x>0)(2分)
当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,
1
2]],减区间为[[1/2],+∞);
当a<0时,f(x)的单调增区间为[[1/2],+∞),减区间为(0,[1/2]];
(II)f′(2)=
a(1−2×2)
2=
3
2
∴a=-1
∴f(x)=-lnx+2x+3
g(x)=[1/3x3+x2[f′(x)+m]
=
1
3x3+(m+2)x2-x
g'(x)=x2+2(m+2)x-1
函数g(x)=
1
3x3+x2[f′(x)+m],在区间(1,3)上不是单调函数,
∴g'(x)=x2+2(m+2)x-1=0在(1,3)上有解
则
g′(1)<0
g′(3)>0]解得-[10/3]<m<-2
∴m的取值范围为(-[10/3],-2).
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间,在区间(a,b)上存在极值,则在区间(a,b)上不单调,属于中档题.