已知函数f(x)=alnx-2ax+3(a≠0).

1个回答

  • 解题思路:(I)利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′(x);②解f′(x)>0(或<0);③得到函数的增区间(或减区间);

    (II)对函数进行求导,令导函数等于0在区间(1,3)上有解,然后建立关系式,解之即可.

    (Ⅰ) f′(x)=

    a(1−2x)

    x(x>0)(2分)

    当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,

    1

    2]],减区间为[[1/2],+∞);

    当a<0时,f(x)的单调增区间为[[1/2],+∞),减区间为(0,[1/2]];

    (II)f′(2)=

    a(1−2×2)

    2=

    3

    2

    ∴a=-1

    ∴f(x)=-lnx+2x+3

    g(x)=[1/3x3+x2[f′(x)+m]

    =

    1

    3x3+(m+2)x2-x

    g'(x)=x2+2(m+2)x-1

    函数g(x)=

    1

    3x3+x2[f′(x)+m],在区间(1,3)上不是单调函数,

    ∴g'(x)=x2+2(m+2)x-1=0在(1,3)上有解

    g′(1)<0

    g′(3)>0]解得-[10/3]<m<-2

    ∴m的取值范围为(-[10/3],-2).

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间,在区间(a,b)上存在极值,则在区间(a,b)上不单调,属于中档题.