Question

如图，已知抛物线y=-x 2 +bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x ²+bx+c与y轴正半轴交于B点，

∴点B的坐标为（0，c），

∵OA=OB，

∴点A的坐标为（-c，0），将点A（-c，0）代入y=y=-x ²+bx+c，得-c2-bc+c=0，

∵c≠0，整理得b+c=1；

（2）如图，如果四边形OABC是平行四边形，那么CO ∥ AB，BC ∥ AO，

∴点C的坐标可以表示为（c，c），

当点C（c，c）落在抛物线y=-x ²+bx+c上时，得-c ²+bc+c=c，

整理得b=c，

结合（1）问c+b=1，得b=c=

1

2 ，

故此时抛物线的解析式为y=-x ²+

1

2 x+

1

2 ；

（3）△BPM是等腰直角三角形，设点P的坐标为（x，-x ²+

1

2 x+

1

2 ），

由BM=PM，列方程

1

2 -（-x ²+

1

2 x+

1

2 ）=x，解得x=

3

2 或x=0（舍去），

所以当x=

3

2 时，y=- (

3

2 ) 2 +

1

2 ×

3

2 +

1

2 =-1，

点M ₁的坐标为（0，-1），

同理当BP=PM时，求出M ₂点的坐标为（0，-

5

2 ），

综上点M的坐标为（0，-1）或（0，-

5

2 ）．