Question

请教超几何分布的均值公式E（x）=nM/N如何推导出来的?

Answer 1

P(X=k)=C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n),k=0,1,...,n.

E(X)=∑[k=0,n]kC(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)

=∑[k=1,n]kC(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)

=∑[k=1,n]MC(M-1,k-1)C(N-M,n-k)/C(N,n)

=[M/C(N,n)]∑[i=0,n-1]C(M-1,i)C(N-M,n-i-1)

=[M/C(N,n)]*C(N-1,n-1)

=nM/N.

从倒数第三步到倒数第二步是怎么得来的?

超几何分布H(n-1,M-1,N-1)的概率分布是

P(X=i)=C(M-1,i)C(N-M,n-i-1)/C(N-1,n-1),i=1,2,...,n-1.

由分布律的规范性,

∑[i=0,n-1]C(M-1,i)C(N-M,n-i-1)/C(N-1,n-1)=1,

∑[i=0,n-1]C(M-1,i)C(N-M,n-i-1)=C(N-1,n-1).