Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3,0）,一条渐近线的方程是根号5X-2Y=0.

Answer 1

设双曲线方程为（5x)^2-(2y)^2=m(m>0),

∴m/25+m/4=9,m=900/29.

∴双曲线方程为25x^2-4y^2=900/29.

把y=kx+b代入上式得

（25-4k^2)x^2-8bkx-4b^2-900/29=0,

△/4=16b^2k^2+(25-4k^2)(4b^2+900/29)

=100b^2+22500/29-3600k^2/29>0,

b^2>9(4k^2-25)/29.①

设M(x1,y1),N(x2,y2),则

x1+x2=8bk/(25-4k^2),

MN中点坐标：x=4bk/(25-4k^2),y=25b/(25-4k^2),

线段MN的垂直平分线方程为y-25b/(25-4k^2)=(-1/k)[x-4bk/(25-4k^2)],

它交x轴于点A(29bk/(25-4k^2),0),交y轴于B(0,29b/(25-4k^2)),

△OAB面积=（1/2)(29b)^2|k|/(25-4k^2)^2=81/2,

841b^2|k|=81(25-4k^2)^2,

b^2=81(25-4k^2)^2/(841|k|)②

把②代入①,得

9(25-4k^2)^2>29|k|(4k^2-25),

(4k^2-25)[36k^2-29|k|-225]>0,

(|k|-5/2)(|k|+5/2)[|k|-(29+√33241）/72][|k|-(29-√33241）/72]>0,

解得0