解题思路：（1）根据余弦定理求得cosB，和cosC代入题设等式中，整理得（b+c）（a2-b2-c2）=0进而求得a2=b2+c2．判断出A=[π/2]．
（2）根据直角三角形外接圆的性质可求得a，进而求得b+c的表达式，进而根据B的范围确定b+c的范围，进而求得三角形周长的范围．
（1）证明：∵a（cosB+cosC）=b+c
∴由余弦定理得a•
a2+c2−b2
2ac+a•
a2+b2−c2
2ab=b+c．
∴整理得（b+c）（a2-b2-c2）=0．
∵b+c＞0，∴a2=b2+c2．故A=[π/2]．
（2）∵△ABC外接圆半径为1，A=[π/2]，∴a=2．
∴b+c=2（sinB+cosB）=2
2sin（B+[π/4]）．
∵0＜B＜[π/2]，∴[π/4]＜B+[π/4]＜[3π/4]，∴2＜b+c≤2
2．
∴4＜a+b+c≤2+2
2，
故△ABC周长的取值范围是（4，2+2
2]．
点评：
本题考点： 余弦定理；正弦函数的定义域和值域．
考点点评： 本题主要考查了余弦定理的应用．解题的关键是利用余弦定理把关于角的问题转化为关于边的问题．