Question

过点P（2，-2）和曲线y=3x-x3相切的直线方程为______．

Answer 1

解题思路：先考虑点（2，-2）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x₀，y₀），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．

设直线l：y+2=k（x-2）．∵y′=3-3x²，∴y′|_x=2=-9，

又∵直线与曲线均过点（2，-2），于是直线y+2=k（x-2）与曲线y=3x-x³相切于切点（2，-2）时，k=-9．

若直线与曲线切于点（x₀，y₀）（x₀≠2），则k=

y0+2

x0−2，∵y₀=3x₀-x₀³，

∴

y0+2

x0−2=-x₀²-2x₀-1，

又∵k=y′|x=x₀=3-3x₀²，

∴-x₀²-2x₀-1=3-3x₀²，∴2x₀²-2x₀-4=0，

∵x₀≠2，∴x₀=-1，∴k=3-3x₀²=0，

故直线l的方程为9x+y-16=0或y=-2．

故答案为：9x+y-16=0或y=-2．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解题的关键注意过某点和在某点的区别，属于中档题．