解题思路：（Ⅰ）由已知得
f
′
(x)＝2+
a
x
，k=f′（1）=2+a=3，由此能求出a=1．
（Ⅱ）由已知得2x+alnx≤（a+3）x-[1/2
x
2
，a（x-lnx）≥
1
2
x
2
−x
，从而a≥
1
2
x
2
−x
x−lnx]，设g（x）=
1
2
x
2
−x
x−lnx
，x∈[1，e]，
由此利用导数性质能求出a≥-[1/2]．
（Ⅰ）∵f（x）=2x+alnx，
∴x＞0，f（1）=2，
f′(x)＝2+
a
x，
∵f（x）在（1，f（1））的切线为y=3x-1，
∴k=f′（1）=2+a=3，
解得a=1．
（Ⅱ）∵存在x∈[1，e]，使不等式f（x）≤（a+3）x-[1/2]x2成立，
∴2x+alnx≤（a+3）x-[1/2x2，
∴a（x-lnx）≥
1
2x2−x，
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，
且等号不能同时取到，∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≥
1
2x2−x
x−lnx]，设g（x）=
1
2x2−x
x−lnx，x∈[1，e]，
∵g′(x)＝
(x−1)(x−lnx)−(1−
1
x)(
1
2x2−x)
(x−lnx)2
=
(x−1)(
1
2x+1−lnx)
(x−lnx)2，
当x∈（1，e）时，x-1＞0，lnx＜1，
∴[1/2x+1−lnx＞0，
∴g′（x）＞0，又∵g（x）在x=1和x=e处连续，
∴g（x）在x∈[1，e]时为增函数，因而g（x）≥g（1）=-
1
2]，
∴a≥-[1/2]．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
1年前
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