已知正方形ABCD的边长为2,点P为对角线AC上一点,则(.AP+.BD)•(.PB+.PD)的最大值为 ______

1个回答

  • 解题思路:由已知中正方形ABCD的边长为2,我们可以建立直角坐标系,选求出各点坐标,设出动点P的坐标,再求出各向量的坐标,得到(

    .

    AP

    +

    .

    BD

    ).(

    .

    PB

    +

    .

    PD

    )表达式,进而得到最大值.

    以A为坐标原点,以AB为X轴正方向,

    以AD为Y轴正方向建立直角坐标系,

    则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),

    ∵P点有对角线AC上,设P(x,x),0<x<2

    所以

    .

    AP=(x,x),

    .

    BD=(-2,2),

    .

    PB=(2-x,-x),

    .

    PD=(-x,2-x)

    .

    AP+

    .

    BD)•(

    .

    PB+

    .

    PD)

    =4x-4x2=-4(x-[1/2])2+1

    当x=[1/2]时,有最大值为1

    故答案为:1

    点评:

    本题考点: 平面向量数量积的运算.

    考点点评: 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,其中建立坐标系,引入各向量的坐标,是解答问题的关键.