Question

已知a1=[1/2]，且Sn=n2an（n∈N*）

Answer 1

解题思路：（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项．

（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有a_k=

1

k(k+1)

，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n

∴an+1＝

n

n+2an

∴（1）a₂=[1/6]，a₃=[1/12]，a₄=[1/20]

（2）猜测a_n=[1

n(n+1)；下面用数学归纳法证

①当n=1时，结论显然成立．

②假设当n=k时结论成立，即a_k=

1

k(k+1)

则当n=k+1时，ak+1＝

k/k+2ak＝

k

k+2×

1

k(k+1)＝

1

(k+1)(k+2)]

故当n=k+1时结论也成立．

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有a_n=

1

n(n+1)．

点评：

本题考点： 数列的应用；数学归纳法．

考点点评： 本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式

设P（n）是关于自然数n的命题，若

1°P（n0）成立（奠基）

2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立