对于一切x∈[-2,[1/2]],不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.

1个回答

  • 解题思路:分x=0,x>0,x<0三种情况讨论,分离参数a后利用导数求函数的最值,从而求得实数a的取值范围.

    当x=0时,对于任意实数a不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立;

    当0<x≤

    1

    2时,不等式ax3-x2+x+1≥0等价于a≥−

    1

    x3−

    1

    x2+

    1

    x.

    设t=[1/x] (t≥2),则f(t)=-t3-t2+t,f′(t)=-3t2-2t+1=-(t+1)(3t-1),

    当t≥2时,f′(t)<0,∴f(t)=-t3-t2+t为减函数,∴f(t)max=f(2)=-10,

    ∴a≥-10;

    当-2≤x<0时,不等式ax3-x2+x+1≥0等价于a≤−

    1

    x3−

    1

    x2+

    1

    x.

    设t=[1/x] (t≤−

    1

    2),则f(t)=-t3-t2+t,f′(t)=-3t2-2t+1=-(t+1)(3t-1),

    当t∈(-∞,-1)时,f′(t)<0,f(t)为减函数,当t∈(-1,-[1/2])时,f′(t)>0,f(t)为增函数,

    ∴f(t)min=f(-1)=-1.

    ∴a≤-1.

    综上,对于一切x∈[-2,[1/2]],使不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立的实数a的取值范围是[-10,-1].

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题.

    考点点评: 本题考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,训练了利用导数求函数的最值,属中高档题.