解题思路:分x=0,x>0,x<0三种情况讨论,分离参数a后利用导数求函数的最值,从而求得实数a的取值范围.
当x=0时,对于任意实数a不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立;
当0<x≤
1
2时,不等式ax3-x2+x+1≥0等价于a≥−
1
x3−
1
x2+
1
x.
设t=[1/x] (t≥2),则f(t)=-t3-t2+t,f′(t)=-3t2-2t+1=-(t+1)(3t-1),
当t≥2时,f′(t)<0,∴f(t)=-t3-t2+t为减函数,∴f(t)max=f(2)=-10,
∴a≥-10;
当-2≤x<0时,不等式ax3-x2+x+1≥0等价于a≤−
1
x3−
1
x2+
1
x.
设t=[1/x] (t≤−
1
2),则f(t)=-t3-t2+t,f′(t)=-3t2-2t+1=-(t+1)(3t-1),
当t∈(-∞,-1)时,f′(t)<0,f(t)为减函数,当t∈(-1,-[1/2])时,f′(t)>0,f(t)为增函数,
∴f(t)min=f(-1)=-1.
∴a≤-1.
综上,对于一切x∈[-2,[1/2]],使不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立的实数a的取值范围是[-10,-1].
点评:
本题考点: 函数恒成立问题.
考点点评: 本题考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,训练了利用导数求函数的最值,属中高档题.