Question

△ABC中，∠C=90°，射线AD交射线BC于D，过D作DE垂直射线BA于点E，点F在射线CA上，BD=DF．

Answer 1

解题思路：（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL证Rt△ECD≌Rt△BED，推出CF=BE即可；

（2）根据角平分线性质求出DE=DC，根据勾股定理求出AE=AC，根据ASA证△AEF≌△ACB，推出AF=AB即可；

（3）求出AC、AB、求出DM，证△DCM∽△BCA，得出比例式，求出即可．

（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°（CD⊥AC），DE⊥AB，

∴CD=DE，∠C=∠DEB=90°，

∵在Rt△ECD和Rt△BED中

DF＝BD

CD＝DE，

∴Rt△ECD≌Rt△BED（HL），

∴CF=BE，

∵AC=AF+CF，

∴BE+AF=AC；

（2）BE=AF+AC，

理由是：∵AD平分∠EAC，∠ACD=90°（CD⊥AC），AE⊥DE，

∴DE=DC，

由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AC²=AD²-DC²，

∴AE=AC，

∵CD⊥AC，AE⊥DE，

∴∠ACB=∠AEF=90°，

在△AEF和△ACB中

∠AEF＝∠ACB

AE＝AC

∠FAE＝∠CAB，

∴△AEF≌△ACB（ASA），

∴AF=AB，

∵BE=AB+AE，AE=AC，

∴BE=AF+AC；

（3）∵AE=2，AF=3，DM=[6/5]BE，

∴由（2）知：AC=AE=2，AB=AF=3，[6/3]BE=AF+AC=2+3=5，

∴DM=6，

∵DM∥AB，

∴△DCM∽△BCA，

∴[DM/AB]=[CM/AC]，

∴[6/3]=[CM/2]，

CM=4．

点评：

本题考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理等知识点，主要考查了学生运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．