Question

已知一次函数y=ax-a（a≠0）的图象是直线l．

Answer 1

解题思路：（1）把P的横坐标代入一次函数解析式中，求出对应的函数值y为0，可得出一次函数图象一对经过P点，得证；

（2）①由直线l与y轴正半轴交于点E，可得出一次函数解析式y=kx+b中k小于0，即a小于0，令x=0，求出此时对应的y轴，即为OE的长，又三角形OPE为直角三角形，根据两直角边OE及OP的长，即可列出S与a的函数解析式，并得出此时自变量a的范围为a小于0；

②由Q在x轴上，分两种情况考虑：当Q在P点右边时，如图所示，根据三角形PQE的面积为三角形OPE面积的2倍，且两三角形的高都为OE，得到三角形PQE的底边PQ为三角形OEP底边OP的2倍，根据OP的长求出PQ的长，进而得到OQ的长，确定出此时Q的坐标；当Q在P的左边时，同理得到PQ等于OP的2倍，由OP的长求出OQ的长，确定出此时Q的坐标，综上，得到所有满足题意的Q的坐标．

（1）把x=1代入一次函数解析式得：y=a-a=0，

∴P（1，0）在一次函数图象上，

即一次函数的图象一定经过P（1，0）；

（2）①∵直线l恒过P（1，0），且与y轴交于正半轴，

∴a＜0，

令y=ax-a中x=0，解得：y=-a，

∴OE=-a，又OP=1，且△OEP为直角三角形，

则S_△OPE=[1/2]OE•OP=[1/2]•（-a）•1=-[a/2]（a＜0）；

②根据题意画出相应的图形，如图所示：

当Q在P的右边时，如图所示，

∵S_△PQ1E=2S_△OPE，且△PQ₁E与△OPE的高都为OE，

∴PQ₁=2OP，又OP=1，

∴PQ₁=2，

∴OQ₁=OP+PQ₁=1+2=3，

此时Q₁坐标为（3，0）；

当Q在P的左边时，如图所示，

∵S_△PQ2E=2S_△OPE，且△PQ₂E与△OPE的高都为OE，

∴PQ₂=2OP，又OP=1，

∴PQ₁=2，

∴OQ₂=PQ₂-OP=2-1=1，

此时Q₂的坐标为（-1，0），

综上，当S_△PQE=2S_△OPE时，Q的坐标为（3，0）或（-1，0）．

点评：

本题考点： 一次函数综合题．

考点点评： 此题考查了一次函数的综合题，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，一次函数的图象与性质，以及三角形面积的求法，利用了数形结合及分类讨论的思想，其中第二问第2小题Q的坐标有两解，注意不要漏解．