Question

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点P从B点出发，在正方形BCC1B1的边上按逆针方向按如下规律运动：设

Answer 1

解题思路：（1）先由

a

n

＝cos

nπ

2

+2

求得当n=1、2、3、4、5、6、7、8时的a_n的值，找出对应的P_i（i=1，2，3，4，5，6，7，8）的位置，然后根据P_i的不同位置求解二面角P_i-AC-B的余弦值；

（2）由线面平行的判定定理，分析P_i（i=1，2，3，4，5，6，7，8）的8个点中有哪些点的连线能够与平面ACD₁内的线平行，找出与平面ACD₁内平行的线即可．

（1）由an＝cos

nπ

2+2，知：a₁=a₅=2，a₂=a₆=1，a₃=a₇=2，a₄=a₈=3．

当i=1、2、8时，点P₁，P₂，P₈位于线段BC上，此时二面角P_i-AC-B的平面角为0°，所以，二面角的余弦值等于1；

当i=3、4时，P₃、P₄位于平面ACC₁上，此时二面角P_i-AC-B的大小为90°，所以，二面角的余弦值等于0；

然后以D为原点，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

当i=5或6时，点P₅，P₆位于线段C₁B₁上，此时P₅（2，4，4），P₆（3，4，4），A（4，0，0），C（0，4，0）

所以

AP5＝(−2，4，4)，

CP5＝(2，0，4)，

AP6＝(−1，4，4)，

CP6＝(3，0，4)，

设平面AP₅C的法向量为

a＝(x1，y1，z1)，平面AP₆C的法向量为

c＝(x2，y2，z2)，

由

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．

考点点评： 本题考查了二面角的平面角的求法，考查了平面与平面垂直的性质及直线与平面平行的判定，考查了分析问题的能力和运算能力，是中档题．