对数函数是指数函数的反函数,按照反函数的定义,指数函数的底数,就称为对数函数的指数.当指数函数的底数是1是,指数函数变成常量函数（在零点没有定义）,常量函数不是一一的,所以底数以1为底定义出来的对数函数就就是多值函数（在零点不存在）,这个和零做分母类似,分子不为零时分式的值为不存在,分子为零时,分式的值为任意数.
事实上,由换底公式,你可以直接把底数为1的对数化为分母为零的分数.
值得注意的是,在复数范围下,真数可以是负数,用指数函数的语言就是一个数非1的正数（比如2）的Z次方可以为负数,其中Z是复数.
根据换底公式,和上一段的说明,底数是负数是允许的,但是这是在复数范围内考虑的,而且在复数范围内,没有直接定义过底数为负数的对数,可以根据需要,按照换底公式进行延拓而定义.但是这样定义出来的对数没有实际的应用价值,处理对数问题通常都会把底数化为自然对数底数e.
最后说一下零做底数的对数,按照反函数定义,原函数是0为底数的的指数函数,当x不为零时,也是常量函数,同样无法定义反函数.
综上所述,对数函数的底数可以扩充到负数（实际上没有用处）,但是在-1,0,1这三点是无法定义的,在极限意义下,可以认为他们的值都是无穷大