Question

已知数列{an}满足a1=4，且an+1，an，3成等差数列，（其中n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得2a_n=a_n+1+3，可得a₂=5，a₃=7，进而可得其值；

（2）由（1）变形可得

a

n+1

−3

a

n

−3

=2，可得结论；

（3）由（2）可知a_n-3的通项，进而可得a_n=2^n-1+3，分别由等差，等比的求和公式可得．

（1）由题意可得2a_n=a_n+1+3，

故可得a₂=5，a₃=7，

故a₁-3=1，a₂-3=2，a₃-3=4；

（2）由（1）可得2a_n=a_n+1+3，

可得2a_n-6=a_n+1-3，即2（a_n-3）=a_n+1-3，

故可得

an+1−3

an−3=2，

故数列{a_n-3}是q=2为公比的等比数列；

（3）由（2）可知a_n-3=（a₁-3）q^n-1=2^n-1，

∴a_n=2^n-1+3，

∴S_n=（1+3）+（2+3）+（4+3）+…+（2^n-1+3）

=3n+（1+2+4+…+2^n-1）=3n+

1•(1−2n)

1−2=3n+2ⁿ-1

点评：

本题考点： 等比数列的性质；数列的求和．

考点点评： 本题考查等比数列的判定和性质，涉及数列的求和，求到通项公式是解决问题的关键，属中档题．