Question

求y=(1+x)^(1/x) 在x->0的导数.我知道答案是-e/2,求具体过程.

Answer 1

y=(1+x)^(1/x) x>0

对等式两边同时取对数lny=(1/x)ln(1+x) 即xlny=ln(1+x)

等式两边同时对x求导 lny+(x/y)y′=1/(1+x)

y′=[（1+x)ln(1+x)-x](1+x)^(1/x)/[(1+x)x^2]

limy′=lim[（1+x)ln(1+x)-x](1+x)^(1/x)/[(1+x)x^2]

=elim[（1+x)ln(1+x)-x]/[(1+x)x^2]——分子分母同时求导

=elim[ln(1+x)]/(3x^2+2x) ——分子分母同时求导

=elim1/[6x+2)(1+x)] ——x->0时6x+2=2；1+x=1

=e/2