Question

高一数学题已知M={x|x=a+b√2,a,b∈Q},m∈M,n∈M.求证：m+n∈M,m-n∈M,m.n∈M,m÷n∈

Answer 1

证明：因为,m∈M,n∈M 所以m=a+b√2,n=,c+d√2,其中a,b,c,d∈Q,

m+n=(a+c)+(b+d) √2,因为a+c∈Q,b+d∈Q,所以m+n∈M.

m-n=(a-c)+(b-d) √2,因为a-c∈Q,b-d∈Q,所以m-n∈M

mn=(ac+2bd)+(ad+bc) √2,因为ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q,所以mn∈M

m÷n=(ac-2d^2)/(c^2-2d^2) + (bc-ad) √2/(c^2-2d^2).因为(ac-2d^2)/(c^2-2d^2)∈Q,(bc-ad)/(c^2-2d^2)∈Q,

所以m÷n∈M