Question

已知a,b是两个非零向量,且|a|=2|b|=|a-2b|,求a与a+b的夹角的余弦值

Answer 1

令向量a与a+b的夹角为α

已知：|a|=2|b|=|a-2b|,那么：

|a-2b|²=|a|²-4a·b+4|b|²=|a|²

即有：a·b=|b|²

所以：|a+b|²=|a|²+2a·b+|b|²=4|b|²+2|b|²+|b|²=7|b|²

即：|a+b|=√7*|b|

那么：cosα=a·(a+b)/(|a|*|a+b|)

=（|a|²+a·b）/(|a|*|a+b|)

=(4|b|²+|b|²)/(2|b|*√7*|b|)

=5(√7)/14

所以：向量a与a+b的夹角的余弦值为5(√7)/14