Question

如图所示，已知抛物线方程为y 2 ＝4x，其焦点为F，准线为l，A点为抛物线上异于顶点的一个动点，射线HAE垂直于准线l

Answer 1

（1）见解析（2）16 ，(1，±2)

(1)证明：由抛物线定义得|AH|＝|AF|，∴∠AHF＝∠AFH.

又∵四边形AHFC是平行四边形，∴HF∥AC，∴∠AHF＝∠EAD，∠AFH＝∠BAD.

综上可得∠BAD＝∠EAD.

(2)易知焦点F(1，0)，准线l方程为x＝－1，设A点坐标为

(a≠0)，

则直线AB方程为4ax－(a ²－4)y－4a＝0(包括AB⊥x轴的情况)，

结合y ²＝4x得4a ²x ²－(a ⁴＋16)x＋4a ²＝0，

根据抛物线定义，可知|AB|＝x _A＋x _B＋2＝

＋2＝

＋

＋2≥4(当且仅当a＝±2时等号成立)．

另外，结合k _AD＝k _HF＝－

，可得直线AD方程为y＝－

x＋

＋a，

结合y ²＝4x得ay ²＋8y－a ³－8a＝0，由于y _D＋y _A＝－

，

∴y _D＝－

－a.又∵∠BAD＝∠EAD，

∴D点到直线AB的距离即为D点到直线AE的距离，即d＝|y _D－y _A|＝

≥8(当且仅当a＝±2时等号成立)．

∴S _△ABD＝

·|AB|·d≥

×4×8＝16(当且仅当a＝±2时取“＝”号)．

此时A点坐标为(1，±2)．