Question

O是三角形外任一点,若OG的向量=1÷3﹙OA的向量+OB的向量+OC的向量﹚,求证：G是三角形重心

Answer 1

分析：由题意O是△ABC外任一点,由OG→=1/3(OA→+OB→+OC→),利用向量的减法可以等价于：GA→+GB→+GC→=0→,再有等价条件,利用向量的平行四边形法则及平面图形知识即可求证．证明：由OG→=1/3(OA→+OB→+OC→)⇔3OG→=OA→+OB→+OC→⇔(OG→-OA→)+(OG→-OB→)+(OG→-OC→)=0→⇔AG→+BG→+CG→=0→⇔GA→+GB→+GC→=0→,由题意画出简图为：由于GA→+GB→+GC→=0→⇔GA→+GB→=CG→,在图形中,利用平行四边行法则及两向量的加法原理可知：GA→+GB→就是以GA,GB为两相邻边的平行四边形的对角线GD,由于四边形GADB为平行四边形,所以GD平分AB,即：GD→=GA→+GB→,所以GD→=GC→,∴|GD→|=|GC|→；又GD,AB平分,所以点G在三角形ABC的边AB的中线上,同理点G应该在BC边的中线上,利用重心的定义可知G是△ABC重心（即三条边上中线的交点）．