Question

数列{an}中，如果存在非零常数T，使得an+T=an对于任意的非零自然数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中

Answer 1

解题思路：先要弄清题意中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期，先求x₃，再前三项和s₃，最后求s₂₀₀₉．

解∵x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），

且x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），

∴x₃=|x₂-x₁|=1-a

∴该数列的前3项的和s₃=1+a+（1-a）=2

∵数列{x_n}周期为3，

∴该数列的前2009项的和s₂₀₀₉=s₂₀₀₇+x₁+x₂=[2007/3]s₃+1+a=1339+a，

故答案为1339+a．

点评：

本题考点： 数列的函数特性．

考点点评： 本题以周期数列为载体，考查数列具的周期性，考查该数列的前n项和．解答关键在于应由题意先求一个周期的和，再求该数列的前n项和sn．