已知圆C过点M（0，-2），N（3，1），且圆心C - 知识问答

已知圆C过点M（0，-2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．

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解题思路：（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组，解得D，E，F，即可求得圆C方程．
（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用直线与圆的方程联立方程组，利用韦达定理，推出x₁x₂，y₁y₂，利用垂直关系得到
2
x
1
x
2
+b(
x
1
+
x
2
)+
b
2
＝0
，求得b=-1或b=-4时方程（*）有实根．说明存在这样的直线l有两条，即可．
（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
则
−
D
2−E+1＝0
4−2E+F＝0
10+3D+E+F＝0解得D=-6，E=4，F=4
∴圆C方程为x²+y²-6x+4y+4=0----------------------（5分）
（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由
x2+y2−6x+4y+4＝0
y＝x+b得2x²+2（b-1）x+b²+4b+4=0（*）
∴
x1+x2＝1−b
x1•x2＝
b2+4b+4
2----------------------------（7分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2，
∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA²+OB²=AB²，
∴x12+y1
点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．

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