Question

已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为

Answer 1

解题思路：由题意因为圆C：x²+y²-6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．

因为圆C：x²+y²-6x+5=0⇔（x-3）²+y²=4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，

又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线

x2

a2−

y2

b2＝1(a＞0，b＞0)，

∴a²+b²=9①

又双曲线的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±[b/a]x⇒bx±ay=0⇒

3b

a2+b2＝2 ②

连接①②得：

b＝2

a2＝5．

∴双曲线的方程：

x2

5−

y2

4=1．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质；圆的一般方程．

考点点评： 此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．