在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点Q是CD上任意一点,DP⊥AQ交BC于点P.

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  • 解题思路:(1)根据直角三角形的性质证得∠DAQ=∠PDC,然后根据ASA即可证得△ADQ≌△CDP,即可证得;

    (2)首先证明△OCP≌△ODQ,即可得到OP=OQ,且∠DOQ=∠POC,然后根据正方形的对角线互相垂直即可证得∠QOP=90°,从而证出垂直.

    (1)证明:∵正方形ABCD中,∠ADC=90°,即∠ADP+∠PDC=90°,

    又∵DP⊥AQ,

    ∴∠DAQ+∠ADP=90°,

    ∴∠DAQ=∠PDC,

    ∵在△ADQ和△CDP中,

    ∠DAQ=∠PDC

    AD=DC

    ∠ADQ=∠DCP,

    ∴△ADQ≌△CDP(ASA),

    ∴DQ=CP;

    (2)OP=OQ且OP⊥OQ.

    证明:∵四边形ABCD是正方形,

    ∴∠ODQ=∠OCP,

    ∵在△OCP和△ODQ中,

    OD=OP

    ∠ODQ=∠OCP

    DQ=CP

    ∴△OCP≌△ODQ(SAS),

    ∴OP=OQ,且∠DOQ=∠POC

    又∵∠DOC=90°,

    ∴∠QOP=90°,

    则OP⊥OQ.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质,正确证明△OCP≌△ODQ是关键.