双曲线的中心在坐标原点,
焦点F（2,0）
那么焦点在x轴上,c=2,
设双曲线方程为
x²/a²-y²/b²=1
一条渐近线L1:y=b/ax
即bx-ay=0
F到渐近线的距离
为|bc|/√(a²+b²)=|b|=1
∴b=1,a²=c²-b²=3
∴双曲线为x²/3-y²=1
L1:y=√3/3x
过F垂直与L1的直线为
y=-√3(x-2)
代入x²/3-y²=1
x²-9(x-2)²=3
即8x²-36x+39=0
设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=9/2,x1x2=39/8
∴|AB|=√(1+3)*√[(x1+x2)²-4x1x2]
= 2*√(81/4-39/2)
=√3